Categoria: CURIOSITÀ MATEMATICHE

Questo è sicuramente uno dei teoremi più strani della matematica. In uno degli episodi di The Big Bang Theory il fisico Sheldon e i suoi amici discutono su quale sia il numero migliore. Sheldon espone il suo parere: il numero migliore è il 73. Scopriamo perché… Il 73 è il 21esimo numero primo mentre il suo speculare, il 37, è il 12esimo numero primo, ovvero la posizione speculare a quella del 73 nell’elenco dei numeri primi; inoltre il prodotto delle due cifre di 73 è 21 come la sua posizione tra i numeri primi. Non è finita qui! Il 73 infatti in codice binario corrisponde a 1001001, ovvero un numero palindromo (si può leggere da sinistra a destra o viceversa ottenendo sempre lo stesso numero).

Spiegato in termini generali un numero primo – ossia divisibile solo per uno e per se stesso – che abbia il prodotto delle sue cifre coincidente con la posizione che occupa nell’elenco dei numeri primi, e le cifre invertibili per ottenere un altro numero primo, la cui posizione coincide con quella iniziale a cifre invertite, è un “numero di Sheldon”.

Dopo aver visto questo episodio di The Big Bang Theory un Professore universitario, Christopher Spicer, ha cercato di comprendere se la congettura di Sheldon potesse anche divenire un teorema. Ricapitolando un “numero di Sheldon” deve avere due proprietà: “Product property”, “Mirror property”. Proviamo a descriverla brevemente matematicamente.

Per ogni intero positivo n tramite p_n  indichiamo la posizione del numero n in questione nell’elenco dei numeri primi.

Esempio:    p_n = 17 perché il 17 è il settimo numero primo

Successivamente per ogni intero positivo n indichiamo tramite rev(n) lo speculare di n

Esempio:       rev(17) = 71

La “product property” consisterebbe nel seguente fenomeno:

p_n = prodotte delle cifre di n

La “mirror property” consisterebbe nel seguente fenomeno:

p_n= rev (p_rev(n))

A questo punto risulta che p₃₆=71 perciò il 17 rispetta la prima proprietà ma non la seconda purtroppo.

Senza entrare nei dettagli della dimostrazione poiché complicata e lunga, posso semplicemente dire che Spicer insieme a Carl Pomerance ha utilizzato il teorema dei numeri primi per dimostrare questo teorema.

La conclusione è stata… esiste solo il 73 come “numero di Sheldon”. Alcuni numeri rispettavano una delle proprietà ma non entrambe purtroppo.

Fu enunciata per la prima volta nel 1937 da Lothar Collatz, da cui prende il nome, ed ha la qualità (o difetto) di essere semplice nell’enunciato ma irrisolta per quanto riguarda la dimostrazione; una congettura infatti è un problema ritenuto vero ma non dimostrato. Paul Erdős disse riguardo questa congettura: «La matematica non è ancora pronta per problemi di questo tipo» e arrivò ad offrire 500 dollari per la sua soluzione. Questo algoritmo è conosciuto anche come “congettura di Ulam” (da colui che fece circolare l’algoritmo nell’università di Los Alamos), “problema di Kakutani”(il quale si interessò al problema negli anni ’60), “congettura di Thwaites”, “algoritmo di Hasse” (amico di Collatz che diffuse la congettura), ma anche come “problema di Syracuse” (poiché Hasse presentò il problema negli anni ’50 durante una visita all’università di Syracuse), “problema 3x+1” o ancora come “congettura del chicco di grandine”, poiché i numeri salgono e scendono come chicchi di grandine in un temporale prima di cadere al suolo (ovvero prima di arrivare 1). Data la semplicità della procedura, la congettura ha attirato molta attenzione da parte di appassionati e matematici esperti; nel 1999 si è svolta la prima conferenza internazionale dedicata a questo problema.

Le indicazioni sono molti semplici: pensa a un numero naturale positivo; se pari, dividilo per 2; se dispari, moltiplicalo per 3 e aggiungi 1; ripeti la sequenza.

Algebricamente:

Alla fine si arriverà sempre a ottenere 1.

Esiste un grafo utilizzato per rappresentare il procedimento di questa congettura chiamato grafo di Collatz.

Seppur non sia stata ancora fornita una dimostrazione, i matematici non mettono in dubbio la validità di questa congettura per ogni numero naturale. Questo algoritmo è stato verificato per tutti i valori fino a 87*2^60 (anno 2017).